Bài toán đố vui của Timophei

[Timophei]

Còn tôi có một bài toán tự tôi đặt ra thế này : một hình đa giác bất kỳ, có luôn tồn tại một đường thẳng chia hình đa giác ấy thành hai phần có diện tích bằng nhau ? Hình tam giác thì là đường trung tuyến chẳng hạn, còn hình tứ giác thì là đường gì ? ngũ giác thì sao ?....

Mong mọi người chỉ giáo, hay nêu ý tưởng, thông tin.

[Nina]

Nếu muốn chứng minh tính tồn tại của đường trên, bác Timophei có thể dựa vào khái niệm hàm số liên tục

Tên gọi à, thì bác cứ việc gọi là đường chia đôi diện tích

Nếu bác cho là Nina nói thiếu nghiêm túc thì Nina hỏi bác câu này nhé:

Tập hợp các nghiệm của bất đẳng thức x + y >2 trên mặt phẳng Oxy là hình gì?

[Timophei]

[Nina]

À, thế thì đường chia một hình phẳng (có cần là đa giác lồi không nhỉ?) làm 2 phần có diện tích bằng nhau là ... đường chia đôi diện tích thôi bác nhỉ?

[Cuong]

Về chuyện dùng hàm liên tục thì Nina nói đúng đấy.
Về bài tóan của bạn Timophei, tôi nghĩ thế này:
Đại lọai là ta kẻ 1 đường thẳng bất kỳ chia đa giác là hai 2 phần. Giả sử diện tích phần nhỏ hơn là P, phần lớn hơn là Q. Sau đó đẩy cái đường thẳng này song song với chính nó ra một khỏang là x về phía Q. Đặt f(x) là diện tích của phần đa giác bị “kẹt” giữa vị trí ban đầu và ví trí mới của đường thẳng.
Bây giờ xác định hàm số mới: g(x)= (P+f(x))-(Q-f(x)).
Ta có: g(0)=P-Q<0. Còn với x tương đối lớn (nghĩa là nếu ta đẩy đường thẳng khá xa vị trí ban đầu) thì bắt buộc lúc nào đó g(x)>0. Như vậy, nếu g(x) là hàm số liên tục thì theo định lý về hàm liên tục sẽ tồn tại Xo nào đó mà g(Xo)=0. Khỏang cách giữa đường chia đôi diện tích và đường thẳng ban đầu sẽ bằng Xo.
Vấn đề còn lại phải CM là f(x) liên tục. Điều này không phải là hiển nhiên, nhưng mà CM cũng đơn giản thôi. Mà nếu f(x) là hàm liên tục thì g(x)=P-Q+2f(x) đương nhiên cũng liên tục .
Đúng như Nina nói nếu là đa giác lồi thì CM đơn giản hơn. Thậm chí còn chỉ ra được cách vẽ nữa.

[Cuong]

[Nina]

Thực sự thì câu trả lời của bài toán ngớ ngẩn của em .... cũng ngớ ngẩn không kém

Tập hợp các nghiệm của bất đẳng thức x + y > 2 trên mặt phẳng Oxy là hình được mô tả bởi bất đẳng thức x + y > 2

(Vì không có cách nào rút gọn được)

Em đưa ra bài toán ngớ ngẩn ấy chỉ để ... đề phòng trường hợp bác Timophei tự ái với câu trả lời trước đó của em, cho rằng đó là câu nhạo báng

[Cuong]

[Nina]

Em xin lỗi bác Cương nhé, hồi chiều lười gõ mà copy nguyên dòng của bác nên có sai sót - thành ra em sửa bài của em và bài của bác cho nó đúng hơn

Còn về việc hình tam giác vuông - thì đúng là tam giác vuông. Nhưng tam giác đó giới hạn bởi những đường nào thì bác lại phải viết

x + y <2
x >0
y >0

Tức là ... mèo lại ... gần giống mèo

[Timophei]

Phối hợp ý tưởng của chị Nina và anh Cuong, tôi đã biết là bài toán của tôi đặt ra về đa giác lồi đã được giải quyết và giải quyết thông qua hình học giải tích như thế nào.
Bây giờ tôi đang suy nghĩ là liệu có một hình đa giác lỏm nào đó không tồn tại một đường thẳng nào chia hai phần diện tích bằng nhau hay không ? Tôi nghĩ bài toán này có ý nghĩa thực tiển : luôn luôn có thể chia đôi một miếng đất thành 2 phần có diện tích bằng nhau bằng một bức tường thẳng hay không ? Trường hợp miếng đất hình dạng như thế nào thì không thể chia được .

[Nina]

Theo em thì bài này cũng không có gì là quá khó. Có lẽ trước hết bác Timophei nên xem lại cách giải bài trước, và xem xem cách giải ấy có áp dụng cho trường hợp đa giác lõm, tự cắt, hay là có bao nhiêu lỗ gì đó hay không thôi. Và mấu chốt vẫn là tính chất liên tục

[Nina]

Còn về ý nghĩa thực tiến của bài toán á, theo em giả sử có 2 người thừa kế của một mảnh đất (méo mó, có lỗ gì đó) cần chia miếng đất ra làm 2 phần diện tích bằng nhau. Bác mà bảo không chia được thì ... họ chả đánh cho ấy chứ

Cũng giống như việc định nghĩa sự sống và cái chết vậy, các nhà sinh học có thể cãi nhau ỏm tỏi, nhưng thực tế thì ... một con ngựa sống với một con ngựa chết luôn có giá rất khác nhau ở chợ.